МатОлимп #8

Сегодня у нас простенькая задача, балла на 4 из 10. Условия выглядят следующим образом

МатОлимп #8 Математика, Олимпиада, Задача, Интересное, Длиннопост

Делаем небольшую паузу, пьём кофе, смотрим мем и начинаем решать.

МатОлимп #8 Математика, Олимпиада, Задача, Интересное, Длиннопост

Теперь можно и приступить к разбору.
Давайте разберёмся, какие остатки от деления на три может давать квадрат числа. Произвольное число даёт в остатке от деления на 3 либо 0, либо 1, либо 2. Такие числа соответственно можно записать в виде 3k, 3k+1 и 3k+2. Рассмотрим их квадраты.

МатОлимп #8 Математика, Олимпиада, Задача, Интересное, Длиннопост

Первый квадрат имеет остаток 0, а два оставшихся имеют остаток 1.
Отсюда следует, что x и y не могут одновременно давать остаток и 1 и 2 от деления на 3 ( иначе z имело бы в остатке 2, а это запрещено для квадрата, как мы увидели выше ). Следовательно, одно из этих чисел делится на 3.

Теперь поглядим на остатки от деления на 8. Произвольное число при делении на 8 даёт в остатке либо 0, либо 1, либо 2, либо 3 и тд до 8. Эти числа записываются как 8k, 8k+1, 8k+2, 8k+3 и тд до 8k+7.
Посмотрим на остатки их квадратов.

МатОлимп #8 Математика, Олимпиада, Задача, Интересное, Длиннопост

Так как z^2 не может давать в остатке что-то отличное от этих чисел, то приходим к выводу, что либо левая часть даёт в сумме остаток 1 ( а это значит, что одно из чисел делится на 8), либо оба числа дают в остатке по 4. В первом случае все очевидно, так как какое-то число делится на 3 да еще одно из них на 8. Значит произведение делится на 24 (а на 12 и подавно). Во втором случае, если глянем на табличку, заметим, что оба числа будут делится на 2. Значит их произведение делится на 3 и на 4 ( по 2 от каждого числа). Таким образом xy делится на 12. Задача решена!

Лига математиков

622 поста2.4K подписчика

Добавить пост
Вы смотрите срез комментариев. Показать все
Автор поста оценил этот комментарий
Египетский треугольник 3*4*5 см, геометрия, 7 класс
раскрыть ветку (16)
4
Автор поста оценил этот комментарий
А вас не смущает, что чисел, удовлетворяющих этому равенству бесконечно много, а не только 3,4,5?
ещё комментарии
Автор поста оценил этот комментарий
Не смущает. Но самое просто решение из натуральных чисел именно такое
раскрыть ветку (14)
ещё комментарии
1
Автор поста оценил этот комментарий
3*4/12=1.
Вот решение.
Каких либо дополнительных условий в задаче нет.
Я никоим образом не умаляю Ваших трудов, но решение элементарной задачи настолько громоздким способом не требуется
раскрыть ветку (11)
7
Автор поста оценил этот комментарий

Видимо у нас какое-то недопонимание. Смотрите, в задаче не просится найти такую пару, которая будет удовлетворять данным условиям. В задаче просят показать это для абсолютно любых натуральных чисел, удовлетворяющих равенству x^2+y^2=z^2. проблема в том, что 3,4,5 - не единственные такие числа. Таких чисел бесконечно много. Не будете же вы всех их перебирать и показывать, что они делятся на 12

раскрыть ветку (4)
Автор поста оценил этот комментарий

а зачем надо было делать для 8?
почему нельзя процесс для 3х повторить для 4х
4k -> 0
4k+1 -> 1
4k+2 -> 4 -> 0
4k+3 -> 9 -> 1
если z2 - 0 - то оба числа имеют 4.
если z2 - 1 - то должно одно.

раскрыть ветку (3)
Автор поста оценил этот комментарий
Ну для четверки возможен случай 4к+3 и 4к+2. Отсюда следует только то, что одно из чисел делится на 2 и все. А для доказательства на 12 нам нужно найти делимость на еще одну двойку.
раскрыть ветку (2)
Автор поста оценил этот комментарий

ааа так вот о чем. 4k+2 даст 0, но будет делится только на 2. понятно.

Автор поста оценил этот комментарий

квадрат числа при делении на 4 дает в остатке либо 0 либо 1.
в левой части будет квадрат от a + квадрат от b.
варианты -
0+0 = 0
0+1 = 1
1+0 = 1
т.е. одно из чисел делится на 4 из пары a,b

3
Автор поста оценил этот комментарий

Это не доказательство, вы просто нашли пример целочисленной тройки, которая удовлетворяет условиям задачи.

Из существования такой тройки не следует что для всякой тройки x,y,z, которая удовлетворяет тождеству x^2 + y^2 = z^2, произведение x на y будет делится на 12, а именно это и требуется доказать.

раскрыть ветку (5)
Автор поста оценил этот комментарий
Причём, в решении автора поста он просто подставил 3 и 8 (даже не самый малый вариант). На каком основании он выбрал 3 понятно, но почему взял 8, а не 4? Никаких пояснений, никаких обоснований. Просто потому что 3*8 делится на 12
Автор поста оценил этот комментарий
В условии не указано найти все множество чисел, которые будут удовлетворять решению, не указано найти закономерность, не указано найти условие, при котором решение будет верно.
раскрыть ветку (3)
1
Автор поста оценил этот комментарий

Всё указано корректно, просто вы не знакомы с математикой, вот и всё.

В словах "докажите что ху делится на 12" уже заложено то, что я написал.

А про "почему он сделал так, а не иначе" - он не обязан объяснять почему выбрал такие числа, но как автор уже вам написал с четверкой такие рассуждения ничего нужного не доказывают.

раскрыть ветку (2)
Автор поста оценил этот комментарий
Я знаком с математикой и русским языком.
Если бы во мне было чуть меньше лени, то даже бы нашел этот задание в учебнике, по которому учился полтора десятка лет назад.
раскрыть ветку (1)
2
Автор поста оценил этот комментарий

Раз вы "знакомы с математикой" я вам сейчас контрпример "доказательства" прям как ваше кину, а вы уже дальше сами решайте действительно ли вы знакомы с ней.

x,y,z - натуральные числа, причём x^2 + y^2 = z^2. Докажите, что х + у = 7.

Ваше "решение" тоже было бы таким, как вы изначально написали? (

"Египетский треугольник 3*4*5 см, геометрия, 7 класс")

Если да, то что же тогда делать с 5, 12, 13?

Если нет, то почему?)

7
Автор поста оценил этот комментарий

Требуется не найти комбинацию чисел, а доказать равенство для любых x/y/z. А-ля докажите теорему пифагора что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Очевидно что 3^2 + 4^2 = 5^2 не является доказательством этой теоремы.

Вы смотрите срез комментариев. Чтобы написать комментарий, перейдите к общему списку